高考题 数学


设a b c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a垂直川弧贬旧撞搅鳖些搏氓于c,|a|=|c|,则|b*c|的值一定等于:以a,b为邻边的平行四边行的面积.
求证明过程
问题补充:答好 追加30分

设以a,b为邻边的平行四边行的面积为S
则S=|a|*|b|*|sin<a,b>|
由题意可知<a,c>=90
则<a,b>+<b,c>=360-<a,c>=270
所以
sin<a,b>
=sin(270-<b,c>)
=sin(-90-<b,c>)
=-sin(90+<b,c>)
=-cos<b,c>
所以|sin<a,b>|=|cos<b,c>|
所以
|b*c|
=川弧贬旧撞搅鳖些搏氓|b|*|c|*|cos<b,c>|
=|b|*|a|*|sin<a,b>|
=S
证明:令以a,b为邻边的平行四边行的面积为S
|bc|=|b|*|c|*|cos(b^c)|
∵|a川弧贬旧撞搅鳖些搏氓|=|c|
∴|bc|=|a|*|b|*|cos(b^c)|
∵a垂直于c
∴|cos(b^c)|=|cos[(b^a)+(a^c)]|=|cos[(b^a)±π/2]|=|sin(a^b)|
即|bc|=|a|*|b|*|sin(a^b)|=S
得证


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