反函数求导公式推导


原函数F(X)的反函数的倒数为1/F'(X)是怎么推导出来的?

首先要保证函数y=f(x)在包含a点的开区间I上严格单调且连续,如果这函数在a点可导并且导数f'(a)≠0,那么反函数x=g(y)在点b=f(a)可导,且g'(b)=1/f'(a)=1/f'(g(憨哗封狙莩缴凤斜脯铆b))。
证明:在所给条件下,函数x=g(y)也严格单调且连续。于是,当y≠b,y→b时,有g(y)≠g(b),g(y)→g(b)。因而:
lim[(g(y)→g(b))/(y-b)]=lim1/[(y-b)/(g(y)→g(b))]=lim1/[(f(x)-f(a))/(x-a)]=1/f'(a)=1/f'(g(b))。


y=f(x)-->dy/dx=f'(x)
-->x=f^(-1)(x)-->求dx/dy
dx/dy*dy/dx=1
-->憨哗封狙莩缴凤斜脯铆dx/dy=1/(dy/dx)=1/f'(x)



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